Если в почтовом логе появляются ошибки вида 
R=dnslookup T=remote_smtp: all hosts for 'адрес.сервера' have been failing for a long time (and retry time not reached)
no host name found for IP address xxx.xxx.xxx.xxx

то починить это можно выполнив: 

cd /var/spool/exim/db
rm -f retry retry.lockfile
rm -f wait-remote_smtp wait-remote_smtp.lockfile
systemctl restart exim

или, в случае если на сервере установлена cPanel: 

/usr/sbin/exim_tidydb -t 1d /var/spool/exim retry > /dev/null
/usr/sbin/exim_tidydb -t 1d /var/spool/exim reject > /dev/null
/usr/sbin/exim_tidydb -t 1d /var/spool/exim wait-remote_smtp > /dev/null
/scripts/courierup --force
/scripts/eximup --force